Question

已知函数fx=ax+lnx 其中a为常数 e为自然对数的底数 （1）求fx的单调区间；（2）若a＜

0，且fx在区间（0，e】上最大值为-2 求a的值

Answer 1

（1）f(x)的定义域为（0，正无穷）
当a=0时，f'(x)=1/x在（0，正无穷）上恒大于0，所以f(x)的单调增区间为（0，正无穷）
当a>0时，f'(x)=1/x在（0，正无穷）上恒大于0，所以f(x)的单调增区间为（0，正无穷）
当a<0时，f'(x)=a+1/x，令f'(x)>0则x<-1/a，所以f(x)的单调增区间为（0，-1/a）
令f'(x)<0则x>-1/a，所以f(x)的单调减区间为（-1/a，正无穷）
（2）若a<0，则由（1）得f(x)的单调增区间为（0，-1/a），单调减区间为（-1/a，正无穷）
令f'(x)=0得x=-1/a，
1)当-1/a小于等于e时，则在（0，e】上的最大值为
f(-1/a)=-1+ln(-1/a)=-2,所以a=-e
2）当-1/a大于e时，则在（0，e】上的最大值为
f(e)=ae+1=-2,所以a=-3/e，但此时-1/a=e/3<e，不符合条件
综上1）2）a=-e