Question

如图 圆o是三角形abc的外接圆 ab为直径，角bac的角平分线交圆o与点d，过点d的切线分别交a

如图 圆o是三角形abc的外接圆 ab为直径，角bac的角平分线交圆o与点d，过点d的切线分别交ab,ac的延长线与点e,f（1）求证af垂直ef（2）求证af加cf等于ab

Answer 1

（1）证：连接DB。三角形AFD和三角形ADB中，因为，角ADF=角ABD(弦切角定理)，角FAD=角DAB（角平分线性质），所以，角AFD=角ADB=90度（直径对应的圆周角为90度），因而AF垂直于FE。证毕。
（2）证：再连接CD，并过D点作AB的垂线且交AB与G点。三角形ADB与三角形GDB均为直角三角形且相似（证明过程过于简单，此处省略），因而角GDB=角DAB=角DAF=角CDF(角平分线性质和弦切角定理)，线段FD=DG,角DGB=角CFD=90度，所以，三角形CFD全等于三角形GDB(角边角)，所以线段CF=GB；三角形AFD全等于三角形AGD(角角边)，线段AF=AG。综上所述，线段AF+CF=线段AG+GB=线段AB。证毕。