Question

根据概率密度函数求解期望和方差

求E(X),D(X),设随机变量X的概率密度为f(x)=(1/2)*e^(-|x|), (-∞<x+∞)
求学霸解释的稍微详细点，我百度出了答案 ，真心看不懂，因为高数知识比较薄弱，但算法还是懂的，求帮忙解一下。考试复习用哇。。。。

Answer 1

显然由公式可以知道
EX
=∫[-∞,+∞] x *f(x)dx
=∫[-∞,+∞] x/2 *e^(-|x|) dx
显然x/2 *e^(-|x|)是一个奇函数，
那么积分之后得到的就是一个偶函数，
代入对称的上下限+∞和-∞，当然得到的E(X)就是0
不会的话我给你做一下吧，
EX
=∫[-∞,+∞] x/2 *e^(-|x|) dx
=∫[-∞,0] x/2 *e^x dx + ∫[0,+∞] x/2 *e^(-x) dx
显然
∫x/2 *e^x dx
= x/2 *e^x - ∫ 1/2 *e^x dx
=x/2 *e^x - 1/2 *e^x 代入上下限0和-∞
= -1/2
而
∫x/2 *e^(-x) dx
= -x/2 *e^(-x) + ∫ 1/2 *e^(-x) dx
= -x/2 *e^(-x) - 1/2 *e^(-x) 代入上下限+∞和0
=1/2
所以相加得到EX=0

再由公式得到
EX²=∫[-∞,+∞]x² *(1/2)*e^(-|x|)dx
而x² *(1/2)*e^(-|x|)是一个偶函数，
那么积分之后得到的就是一个奇函数，
所以
EX²=2∫[0,+∞]x² *(1/2)*e^(-x)dx
=∫[0,+∞]x² *e^(-x)dx
而
∫ x² *e^(-x)dx
= -e^(-x) *x² + ∫e^(-x)dx²
= -e^(-x) *x² + ∫2x *e^(-x)dx
= -e^(-x) *x² - ∫ 2x *d[e^(-x)]
= -e^(-x) *x² - 2x *e^(-x) + ∫2e^(-x)dx
= -e^(-x) *x² - 2x *e^(-x) - 2e^(-x)
所以代入上下限得到
EX²=∫[0,+∞]x² *e^(-x)dx= 2
于是
DX=EX²-(EX)²=2

解得EX=0，DX=2

以后做题目的时候要记住，
看到积分区域是对称的时候，
一定要看一下积分函数的奇偶性，
对奇函数积分后得到的就是偶函数，
代入互为相反数的上下限结果一定为0