Question

定积分的几何意义为什么表示面积，为什么被积函数所围成的面积等于原函数两点之差

Answer 1

答：

从定积分的定义去理解：

它是一个极限，你看一下这个极限是怎么来的，就是把你积分的区间分成N份，然后在每个区间内任意取F（X)（看图，它相当于矩形的宽），然后用这个F（X)乘以这个区间的长度（看图，它相当于矩形的长，只不过是与该曲线和X轴围城的面积近似），最后把整个N份（也就是N个矩形的面积）加起来，不就是得到了整个积分区间上的与原曲边和X轴围城的面积的近似值，最后就是取极限将N趋向无穷，那么这样就表示面积了。

追问

那为什么这个面积等于它的原函数ab两点值之差呢

追答

从图中可以看出，区间a到b决定了这些小矩形的长。

Answer 2

因为导数可以看作原函数在每个点的“差”，积分可以看作是求和，所以当你对导函数去积分就相当于把各个点作的“差”又加起来了，最后的结果就是原函数在两头的差了。可以用人上楼梯的过程进行类比。