Question

如图在四边形ABCD中，AC=BD,对角线AC,BD相交于点O，AC垂直BD，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA中点

求证EFGH是正方形

Answer 1

证明：在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=DC
∴AC=BD
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴EF、GH、FG、EH分别是△ABC,△DAC,△BCD和△ABD的中位线
∴EF=GH=1/2AC FG=EH=1/2BD EF∥GH∥AC FG∥EH∥BD
∴EF=GH=FG=EH
∴四边形EFGH为菱形
∵AC⊥BD
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH为正方形

追问

其实我想说，我们老师把题目改了一下，改成了AC=BD，该怎样求呢？

追答

EF是中点

则
EF∥AC
EF=AC/2
同理

HG∥AC
HG=AC/2

FG∥BD
FG=DB/2

EH∥BD
EH=BD/2

AC⊥BD
AC=BD

EFGH是正方形