Question

如图,已知AB,CD是圆o的两条弦,且点a是cd孤的中点 ,弦CD与弦AB相交于点E,连接AC

1)若AE=2,EB=6,求AC的长
(2)延长EC到点P,连接PB,且PE=PB,求证:PB是圆O的切线

Answer 1

（1）

连接BC

∵A是弧CD的中点，即弧AC=弧AD

∴∠ACD=∠ABC（等弧对等角）

又∵∠EAC=∠CAB（公共角）

∴△EAC∽△CAB（AA）

∴AC/AB=AE/AC

即AC²=AB×AE

∵AB=AE+BE=2+6=8

∴AC²=8x2=16

∴AC=4

    

（2）

连接OA，交CD于F；连接OB

∵PE=PB

∴∠PBE=∠PEB=∠AEF

∵OA=OB

∴∠OBA=∠FAE

∵弧AC=弧AD

∴AO⊥CD（垂径定理逆定理）

∴∠AEF+∠FAE=90°

∴∠PBE+∠OBA=90°

即∠PBO=90°

∴PB是⊙O的切线