Question

已知等边三角形abc和点p，设点p到三角形abc三边AB,AC,BC的距离分别是h1,h2,h3，三角形abc

的高为h。诺点p在一边bc上（图一），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h。请你探索以下问题：当点p在三角形abc内（图两）和点p在三角形abc外（图三）这两种情况时，h1,h2,h3与h之间有什么关系？请写下你的猜想，并简要说明理由。

Answer 1

（1）h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴1 2 BC•AM=1 2 AB•PD+1 2 AC•PF
即 1 2 BC•h=1 2 AB•h1+1 2 AC•h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．

（2）h=h1+h2+h3 ，理由如下：
连接AP、BP、CP，则 S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴1 2 BC•AM=1 2 AB•PD+1 2 AC•PF+1 2 BC•PE
即 1 2 BC•h=1 2 AB•h1+1 2 AC•h2+1 2 BC•h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．

（3）h=h1+h2-h3．
当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC-S△PBC，
即1 2 BC×AM=1 2 AB×PD+1 2 AC×PE-1 2 BC×PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2-h3=h，
即h1+h2-h3=h．