Question

圆锥的高是1,轴截面的顶角为2派/3,过顶点的截面截圆锥,截得的截面三角形的面积最大值为__

麻烦写下具体过程，谢谢了!

Answer 1

答：如图所示，圆锥A-BDC

依据题意，∠BAC=120°，AD=1

所以：AB=AC=2，BC=2√3

底面圆半径R=√3

设过顶点A的截面AEF，设∠DAG=a∈[0,60°)

根据对称性可以知道：EG=FG

EF⊥平面ABC

AG=AD/cosa=1/cosa

DG=AGsina=tana

根据勾股定理可以知道：EG^2=FG^2=R^2-DG^2=3-(tana)^2

所以：EF=2√[3-(tana)^2]

所以截面三角形AEF的面积：

S=EF*AG/2

=2√[3-(tana)^2]/(2cosa)

=√[3(cosa)^2-(sina)^2]/(cosa)^2

=√[4(cosa)^2-1]/(cosa)^2

设x=(cosa)^2∈(1/4，1]

S=√(4x-1)/x

对x求导：

S'(x)=2 / [x√(4x-1)]-√(4x-1)/x^2

=[2x-(4x-1)] / [(x^2)√(4x-1)]

=(1-2x) / [(x^2)√(4x-1)]

解S'(x)=0得x=(cosa)^2=1/2

cosa=√2/2，即a=45°时截面三角形取得最大值

最大值S=√[4*(1/2)-1]/(1/2)=2

所以：最大截面积为2

追问

我没有学过导数,而且答案是根号3哦..

追答

答案是根号3肯定是错误的，除非题目提供错误，你可以验算一下
你现在读几年级？我看看有没有其它办法处理最大值的问题

追问

你能不要用导数的方法来做吗?我还没学过.

追答

S=√[4(cosa)^2-1]/(cosa)^2=√(4x-1)/x，其中x属于(1/4,1]
整理：Sx=√(4x-1)
两边平方：(Sx)^2=4x-1
(S^2)x^2-4x+1=0在(1/4，1]上有解
判别式=(-4)^2-4(S^2)>=0
S^2<=4
S<=2
所以：S最大值为2，此时方程为4x^2-4x+1=0，x=(cosa)^2=1/2
所以：夹角为45°时取得最大面积为2

Answer 2

由题意知，当过顶点的截面为轴截面时，截面三角形的面积最大，最大面积为根号3

追问

能说得具体点吗,我不是很明白.

追答

轴截面即为过圆锥的高的截面。

追问

那根号3是怎么计算出来的哪?