Question

已知方程x^2+y^2-2(m+3)x-2(1-4m^2)y+16m^4+9=0,若该方程表示一个圆，

(1)求m的取值范围
（2）求该圆面积的最大值
（3）求圆心的轨迹方程

Answer 1

1)配方：
（x-m-3)^2+(y-1+4m^2)^2=(m+3)^2+(1-4m^2)^2-16m^4-9
(x-m-3)^2+(y-1+4m^2)^2=-7m^2+6m+1
(x-m-3)^2+(y-1+4m^2)^2=-(7m+1)(m-1)
表示圆的话，则半径r>0
因此有-(7m+1)(m-1)>0
得-1/7<m<1
2)r^2=-7m^2+6m+1=-7(m-3/7)^2+16/7
当m=3/7时，r^2最大，为16/7
即圆面积最大值=16π/7
3)记圆心为(x,y)
则x=m+3
y=1-4m^2
将m=x-3代入后式，得：y=1-4(x-3)^2=-4x^2+24x-35
因为有1/7<m<1,所以定义域22/7<x<4
因此轨迹为抛物线的一段。

Answer 2

x^2+y^2-2(m+3)x-2(1-4m^2)y+16m^4+9=0
[x-(m+3)]²+[y-(1-4m²)]²=(m+3)²+(1-4m²)²-16m^4-9
[x-(m+3)]²+[y-(1-4m²)]²=-7m²+6m+1
(1)
若该方程表示一个圆:
则：-7m²+6m+1＞0
解得：-1/7＜m＜1
(2) y＝-7m²+6m+1的最大值是16/7
即最大R²＝16/7
最大面积Smax＝πR²＝16π/7
(3)圆心参数方程：
x＝m+3
y＝1－4m²
化为标准方程：
y＝－4x²+24x－35