Question

同余问题中的“差同减差”怎么证明

Answer 1

请解释：余同留余，和同加和，差同减差；最小公倍数做周期

答：

有一种同余问题是：给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数。

这种同余问题，有数论中称为同余式组，或者说同余方程组。
有些简单的同余方程组，可以用观察法进行解答，利用简单的心算检验，即可解答。以上口诀就是讲的这类问题。
其实这类问题是十分容易解答的，这个口诀，反而让人一头雾水，没有突显同余式解法的妙处。我私自以为，不记此口诀罢。

网上摘抄：
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数是60。

1、最小公倍作周期：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍。

2、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。
例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

3、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。
例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。

4、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，
此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。
例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。

注：
事实上，就是说，解这类同余问题，所得的某个结果上加减最小公倍数的任意倍，均可以得到他的其他解，进而这种形式可以得到所有的解，即通解；任意某一个结果，可以称为特解。
当同余问题较为简单时，可以观察余数是否相同，如果相同，可以用这一个余数来加上相应的除数的最小公倍数，从而找到针对这些除数的解；如果余数不同，可以在余数上分别加减相应的除数的倍数，设法使之相同，相同的话，就按余数相同的方式来处理了。

如果讨论负值倍数与负值的同余数，那么减去倍数就是加上负值倍数，上面的说法就只是加上相应的除数的倍数就行了。并且加法就已经相当于“代数和”，就已经包含了减法了。

例如，一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，我们在各个余数上分别减去除数，得到
一个数除以4余-3，除以5余-3，除以6余-3，故这个数除以456的最小公倍数也余-3，故这个数是
-3+60n，这里n是任意整数。

备用：
某除以诸数，各各知余数。欲求某数者，方法见如下。
余数加减其除数，题目结论无影响。设法变换使相同，相同之数即为解。