Question

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2 求高手中的高手！！

若a=1/2，求f(x)的单调区间
若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围

我要问的是第二问为什么不能这样做：

（1）
当a=1/2时，f(x)=x*(e^x-1)-(1/2)x^2
则，f'(x)=(e^x-1)+x*e^x-x=(e^x-1)+x*(e^x-1)=(x+1)*(e^x-1)
则，当f'(x)=0时，有：x=-1，x=0
所以：
当x＜-1时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增；
当-1＜x＜0时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减；
当x＞0时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增。

（2）
由（1）问得e^x(x+1)>=x+1
所以f `(x)>=(1-2a)x 从而当1-2a>=0即a<=1/2时f `(x)>=0 又f(0)=0
所以f(x)>=0成立
而经验证当a大于1/2时f(x)<=0不成立
所以a的取值范围是负无穷到1/2

Answer 1

答：只回答第二问

f(x)=x(e^x-1)-ax^2
x>=0时f(x)>=0
f(x)=x(e^x-1)-ax^2>=0恒成立
x(e^x-1)>=ax^2恒成立
显然，x=0时成立；
x>0时：e^x-1>=ax
a<=(e^x-1)/x
设g(x)=(e^x-1)/x
求导：g'(x)=(e^x)/x-(e^x-1)/x^2=(xe^x-e^x+1)/x^2
设h(x)=xe^x-e^x+1
求导：h'(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x>0恒成立
所以：h(x)是单调递增函数，h(x)>h(0)=0-1+1=0
所以：g'(x)=h(x)/x^2>0恒成立
所以：g(x)是单调递增函数，g(x)>g(0)=lim(x→0)(e^x-1)/x=1
所以：a<=1<(e^x-1)/x
所以：a<=1

Answer 2

因为第一问的题设a=1/2不能用到第二问中，你是按前提a=1/2算的。所以不对

追问

但当a=1/2时在0到正无穷上单调递增且f(x)>=0，这确实和第二问吻合啊

追答

但是当f(x)>=0时，a不只是1/2，你把范围缩小了

Answer 3

由（1）问得e^x(x+1)>=x+1

这句话错了。第一小题有个前提a=1/2。如果a=2，你去算一算单调区间肯定变了

追问

但当a=1/2时在0到正无穷上单调递增且f(x)>=0，这确实和第二问吻合啊

追答

只能说明a的取值范围中包含a=1/2

但你不能以a=1/2基础上的推论回头讨论a能否取其他值

追问

哎 字数太多 没法举例啊

Answer 4

目测f `(x)>=(1-2a)x这一步求导有问题

f'(x)=(e^x-1)+x*e^x-2ax=e^x(x+1)-(2ax+1)
设g(x)=e^x(x+1)>=1 且位增函数
k(x)=(2ax+1)
由k(x)<=1
得a<=0