Question

设函数f(x)在(-∞,+∞)可导,且满足f(0)=1,f'(x)=f(x),证明f(x)=e^x

高等数学 设函数f(x)在(-∞,+∞)可导,且满足f(0)=1,f'(x)=f(x),证明f(x)=e^x

Answer 1

f'(x)=f(x)，即dy/dx=y
dy/y=dx
两边积分：lny=x+C
两边取e指数：y=e^x+C
f（0）=e^0+C=1
C=0
所以，f(x)=e^x

追问

两边积分那步是怎么得来的啊？

追答

∫（1/y）dy=lny+C，
∫dx=x+C，
C为任意常数
（这是积分基本公式，需要牢记。）
所以lny=lnx+C
C由初值条件f（0）=1确定。