Question

大学数学 来高手

Answer 1

证明：
由f(x)在[-1,1]上三次可微及泰勒中值定理得
f(1)=f(0)+f'(0)+f''(0)/2!+f'''( σ₁)/3! σ₂∈（0,1）
f(-1)=f(0)-f'(0)+f''(0)/2!-f'''( σ₂)/3! σ₂∈（-1,0）
把f'(0)=f(-1)=f(0)=0、f(1)=1，代入得
1=f''(0)/2!+f'''( σ₁)/3! ①
0=f''(0)/2!-f'''( σ₂)/3! ②
①-②得
[f'''( σ₁)+f'''( σ₂)]/3!=1
令f'''( σ)=max{f'''( σ₁)，f'''( σ₂)}，则
1= [f'''( σ₁)+f'''( σ₂)]/3!≤ [f'''( σ)+f'''( σ)]/3!
整理得
f'''( σ)≥3 σ₂∈（-1,1）
即
存在x∈(-1,1)，使得f'''(x)≥3。
即得证。

Answer 2

根据泰勒展开有f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)*x^2/2+f'''(η)*x^3/6=f''(0)*x^2/2+f'''(η)*x^3/6

令x=-1,有f(-1)=f''(0)*/2-f'''(η1)/6;令x=1,有f(1)=f''(0)*/2+f'''(η2)/6
两式相减，得f'''(η1)+f'''(η2)=6
设f'''(ξ)=max[f'''(η1),f'''(η2)],则f'''(ξ)≥3