Question

已知圆内接正六边形面积为根号3，求该圆外切正方形边长

Answer 1

解：

如图所示：

可见：正六边形的面积=6△EOF的面积

正六边形的边长为圆的半径r，△EOF为等边三角形

故：△EOF的面积=(r×rsin30°)/2=r²/4

正六边形的面积=6×r²/4=1.5r²

已知：正六边形的面积=√3

因此：1.5r²=√3

有：r²=(2√3)/3…………………………(1)

外切正方形的边长为圆的直径，

因此其面积为：(2r)²=4r²

将(1)代入，有：正方形面积=4×(2√3)/3=(8√3)/3

Answer 2

解设圆内接正六边形的边长为a，则圆的半径为a
则圆内接正六边被圆心分为6个全等的等边三角形，
则
圆内接正六边形面积=6个全等的等边三角形的面积
即6×1/2a×√3/2a=√3
即a^2=2/3
即a=√6/3
故该圆外切正方形边长是该圆的直径
故圆外切正方形边长是2a=2×√6/3=2√6/3.