Question

求齐次线性方程组的解！！主要是化解成行阶梯型的过程~

设向量组α1=(λ,1,1)^T α2=(1,λ,1)^T α3=(1,1,λ)^T β=1,λ,λ^2)^T,问λ取何值时，向量β能由向量组α1、α2、α3线性表示？表示是否唯一

Answer 1

令矩阵A=(α1、α2、α3)。考虑它的秩，如果rankA=3的话，那么毫无疑问它们线性无关，可以作为三维空间的一组基，那么必然可以线性表示β且表示方式唯一。
注意到detA=(λ-1)^2*(λ+2)所以只要λ不为1或-2都可以线性表示且唯一。
（1）考虑为1情形。这三个向量都是(1,1,1)^T，恰巧β也为这个向量。所以可以线性表示但不唯一。
（2）考虑为-2情形。β为(1,-2,4)^T.这三个向量分别为(-2,1,1)^T,(1,-2,1)^T,(1,1,-2)^T。
设xα1+yα2+zα3=β，那么：
-2α1+1α2+1α3=1 1α1+-2α2+1α3=-2 1α1+1α2-2α3=4
加和左端为零右端不为零。所以为-2时候无法线性表示。