Question

已知函数f(x)=mx2－mx－1.

⑴若对于x∈R,f(x)＜0恒成立,求实数m的取值范围；
⑵若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立,求实数m的取值范围.

Answer 1

1，当m=0，f(x)=-1<0
当m不等于0时，因为f(x)<0恒成立，所以函数必定开口朝下，方程f(x)=0无实数解。
因此m<0, 黛儿塔=(-m)^2-4*m*(-1)=m^2+4m<0 => -4<m<0
因此-4<m<=0

2，f(x)<5－m => mx^2-mx+(m-6)<0
显然m=0, 对于x∈[1,3]上式成立
当m不等于0时，对于方程 mx^2-mx+(m-6) = 0, x^2-x+(m-6)/m=0。函数有对称轴 x=1/2，对应的y=m/4-m/2+m-6=3m/4-6
因此当m>0时 mx^2-mx+(m-6) 开口朝上，只要x=1和x=3都满足条件即可，m-6<0 => m<6; 9m-3m+m-6<0 => m<6/7。合并得0<m<6/7
当m<0时 mx^2-mx+(m-6) 开口朝下，只要x=1/2都满足条件即可，3m/4-6<0 => m<8 所以m<0

合并上述结果 m<6/7，对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立