Question

已知关于X的方程X^2-KX+K^2+N=0有两个不相等的实数根X1 X2 且（2X1+X2）^2

-8(2X1+X2)+15=0 1.求证：N小于0 2.试用含K的代数式表示X1 3.当N=-3时，求K的值

Answer 1

1.其判别式△为k^2-4k^2-4n=-3k^2-4n＞0
-3k^2＞4n,而-3k^2为非负数，所以n＜0
2..（2x1+x2)^2-8(2x1+x2)+15=0
(2x1+x2-3)(2x1+x2-5)=0
所以x1+x2+x1-3=0
或x1+x2+x1-5=0
根据韦达定理有x1+x2=k
所以有
x1+k-3=0
或x1+k-5=0
所以x1=3-k,或x1=5-k.
3.当n=-3时，方程变为
x^2-kx+k^2-3=0
代入x1=3-k,与x1=5-k
有
(k-3)^2+k(k-3)+k^2-3=0
k^2-6k+9+k^2-3k+k^2-3=0
3k^2-9k+6=0
k^2-3k+2=0
(k-2)(k-1)=0
或:
(k-5)^2+k(k-5)+k^2-3=0
k^2-10k+25+k^2-5k+k^2-3=0
3k^2-15k+22=0
解得k=2或1