Question

求教一道奥数题，答得快又对的，追加分

设M = 1010101…01 ，其中数字1出现k次，N = 1001001001001。试求出最小的k值使得M能被N整除。
清冽出详细地做题过程。

Answer 1

设M = 1010101…01 ，其中数字1出现k次，N = 1001001001001。试求出最小的k值使得M能被N整除

解：注意到1010.....101×11=1111....111

而N×111=111.....11(共15个)

于是，取k=15，则有：

10101.....101(共15个1)=1111.....111(30个1)/11=N×111×（1000...(当中共14个0)..001/11）

而括号中显然是整数，即10101...101（共15个1）为N的倍数

下面证明15即最小值

假设m为k的最小值，即：101.....101(m个1)为N的倍数且m<15

则1010....101(15个1)-101....101(m个1)=101...101(15-m个1)×10^2m也是A的倍数

因为m是满足条件的最小值，所以m<15-m

m<8

N本身即为13位数，则m只能为7或8

经过计算则可知7和8均不满足条件

所以k=15即为满足条件的最小值

Answer 2

1010101010101/1001001001001=0.1
101010101010101/1001001001001=1

Answer 3

解：设M = 1010101…01 ，其中数字1出现k次，N = 1001001001001。试求出最小的k值使得M能被N整除

解：注意到1010.....101×11=1111....111

而N×111=111.....11(共15个)

于是，取k=15，则有：

10101.....101(共15个1)=1111.....111(30个1)/11=N×111×（1000...(当中共14个0)..001/11）

而括号中显然是整数，即10101...101（共15个1）为N的倍数

下面证明15即最小值

假设m为k的最小值，即：101.....101(m个1)为N的倍数且m<15

则1010....101(15个1)-101....101(m个1)=101...101(15-m个1)×10^2m也是A的倍数

因为m是满足条件的最小值，所以m<15-m

m<8

N本身即为13位数，则m只能为7或8

经过计算则可知7和8均不满足条件

所以k=15即为满足条件的最小值