Question

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=kx(x-y),0<x<2,-x<=y<=x, 0 其他

求X,Y的边缘概率密度，详细的过程！

Answer 1

1=∫(0~2)∫(-x~x) kx(x-y)dydx
1=∫(0~2) kx(xy-y^2/2)|(-x~x) dx
1=∫(0~2)2kx^3dx
1=2kx^4/4(0~2)
1=8k
k=1/8

画图可知范围

fy(y)=∫(|y|~2) kx(x-y)dx
=kx^3/3-kyx^2/2 | |y|~2
=1/8(8/3-2-(y^2|y|/3-y^3/2))
=1/12-y^2|y|/24+y^3/16
(-2<y<2)
fx(x)=∫(-x~x) kx(x-y)dy
=(1/8) (x^2y-xy^2/2) |(-x~x)
=(1/8)((x^3/2)-(-3x^3/2))
=(1/8)2x^3
=x^3/4
(0<x<2)

追问

不好意思，Y的那部分不是很理解，请问可以再详细点吗

追答

画图,有三条线
x=y,x=-y,x=2
围起来的区域是作积分的区域

如果只作x的积分（求fy）
那么x不能越过左边两条线，不能越过右面的2

-x==y(y>0) 上半部分
-x=|y|(y>0)
x>=-y(y=|y|

所以无论哪边，x>=|y|就可以作为积分下限
积分上限是x<2
所以积x 从|y|~2