Question

如图，已知圆O1，圆O2 外切于P，过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D，直线PB交圆O2

如图，已知圆O1，圆O2 外切于P，过圆O1上一点B作圆O1切线交圆O2于C、D，直线PB交圆O2于A，求证：AD^2+BC BD=AB^2

Answer 1

过点P作两圆的公切线交BD于E。
∵A、P、C、D共圆，∴∠APD＝∠ACD，∴∠BPD＝∠ACB。
∵PE、BE分别切⊙O1于P、E，∴∠EPB＝∠ABD，∴∠BPD＝∠DPE＋∠ABD，
∴∠ACB＝∠DPE＋∠ABD。
∵PE切⊙2于P，∴∠DPE＝∠BAD，∴∠ACB＝∠BAD＋∠ABD＝180°－∠ADC。
∵A、P、C、D共圆，∴∠APC＝180°－∠ADC，∴∠ACB＝∠APC，又∠BAC＝∠CAP，
∴△ABC∽△ACP，∴∠ABD＝∠ACP。
∵A、P、C、D共圆，∴∠ADP＝∠ACP，∴∠ADP＝∠PBD，∴AD是△PBD外接圆的切线，
∴由切割线定理，有：AD^2＝AP×AB＝（AB－BP）AB＝AB^2－AB×BP。
对⊙2来说，由割线定理，有：AB×BP＝BC×BD，∴AD^2＝AB^2－BC×BD，
∴AD^2＋BC×BD＝AB^2。

追问

为什么AD是三角形外接圆切线

追答

弦切角＝弦所对的圆周角。
若AD不是切线，则∠ADP＝∠PBD就不成立。