Question

如图,已知二次函数y=(1/2x)^2+(3/2)x-2的图像与Y轴交与点C,与X轴交与A,B两点(点A

如图,已知二次函数y=（1/2x）^2+（3/2）x-2的图像与Y轴交与点C,与X轴交与A,B两点(点A在点B的左侧），其对称轴与X轴交与点D，连接AC。
（1）直接写出点A和点C的坐标
（2）抛物线的对称轴上是否存在点E，是的△ECA为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标，若不存在，，请说明理由
（3)点P为X轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA，PC，记△PAC的面积为S，问S去何值时，相应的点P有且只有2个？

Answer 1

（1）点A(-4,0)，点C(0,-2)
（2）二次函数y=(1/2)x^2+(3/2)x-2的对称轴为x=-b/(2a)=-(3/2)/[2×(1/2)]=-3/2
设点E(-3/2,y)，则
AC=√{[-(-4)]^2+(-2)^2}=√20
CE=√{(-3/2)^2+[y-(-2)]^2}=√[9/4+(y+2)^2]
EA=√{[-4-(-3/2)]^2+(-y)^2}=√(25/4+y^2)
①CE=AC，即√[9/4+(y+2)^2]=√20
解得y=-2±√71/2
②EA=AC，即√(25/4+y^2)=√20
解得y=±√55/2
③CE=EA，即√[9/4+(y+2)^2]=√(25/4+y^2)
解得y=1
所以，所有符合条件的点E的坐标为E1(-3/2,-2+√71/2)，E2(-3/2,-2-√71/2)，E3(-3/2,+√55/2)，E4(-3/2,-√55/2)，E5(-3/2,1)．
（3）二次函数y=(1/2)x^2+(3/2)x-2，当y=0时，x=-4或x=1，则点B(1,0)
设点P(x,y)，则-4<x<1且x≠0，y=(1/2)x^2+(3/2)x-2，化为2y=x^2+3x-4
过点P作PM垂直x轴，交x轴于点M
①当-4<x<0时，S=S梯形OMPC+S⊿AMP-S⊿AOC=1/2[2+(-y)](-x)+1/2(-y)[4-(-x)]-1/2×2×4
即S=-x-2y-4=-x-(x^2+3x-4)-4
化简得S=-x^2-4x
二次函数S=-x^2-4x的对称轴为x=-2，顶点(-2,4)
当-4<x<-2时，0<S<4
当-2<x<0时，0<S<4
当x=-2时，S=4
②当0<x<1时，S=S梯形OMPC+S⊿AOC-S⊿AMP=1/2[2+(-y)](-x)+1/2×2×4-1/2(-y)[4-(-x)]
即S=x+2y+4=x+(x^2+3x-4)+4
化简得S=x^2+4x
二次函数S=x^2+4x的对称轴为x=-2，当0<x<1时，S随x的增大而增大
当0<x<1时，0<S<5
综上所述，S取4时，相应的点P有且只有2个．

Answer 2

不知道。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。