Question

这个高中的数学导数题怎么做

铁路线上AB段长100KM，工厂C到铁路的距离CA=20KM，现在要在AB上D处与C之间修一条公路，已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3：5，为了使原料从B处运往工厂C处的运费最省,D应修在何处
这里的AB没有说与CA垂直~！用导数求运费的最小值怎么写出这个函数~！~！

Answer 1

解：设∠CDA=α，总运费为y，铁路和公路每公里的运费分别为3K和5K，
则DA=
20
tanα
，CD=
20
sinα

∴BD=100-
20
tanα

∴y=3K（100-
20
tanα
）+5K×
20
sinα
=300K+20K×
5−3cosα
sinα

∵y′＝20K×
3−5cosα
sin2α

令y′＝20K×
3−5cosα
sin2α
＝0，可得cosα＝
3
5

令y′＝20K×
3−5cosα
sin2α
＞0，可得cosα＜
3
5
，令y′＝20K×
3−5cosα
sin2α
＜0，可得cosα＞
3
5

从而可知，当cosα＝
3
5
时，函数取得极小值，而且就是函数的最小值
此时，sinα＝
4
5
，tanα＝
4
3
，DA=
20
tanα
=15km
即D离A点15km．

Answer 2

“工厂C到铁路的距离CA=20km”，什么是点到直线距离，这距离就是垂线段！所以AB与CA垂直！
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