Question

已知函数f(x)=e^x(e为自然对数的底数)

已知函数f(x)=e^x(e为自然对数的底数)
证明对任意实数x1和x2，且x1不等x2，都有不等式f[(x1+x2)/2]<[f(x1)-f(x2)/(x1-x2)]<[f(x1)+f(x2)]\2成立
我是在另一个问题里面看到你的回答，但是我觉得你是跳步了，希望能给详尽的证明

Answer 1

已知函数f(x)=e^x，证明对任意实数x₁和x₂，且x₁≠x₂，都有不等式f[(x₁+x₂)/2]<[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)<[f(x₁)+f(x₂)]/2成立.

证明：先证明一个不等式：当x>0时，不等式1<[e^x-e^(-x)]/2x<[e^x+e^(-x)]/2成立............(1)
为此作函数g(x)=e^x-e^(-x)-2x，由于g '(x)=e^x+e^(-x)-2=(e^2x-2e^x+1)/e^x=(e^x-1)²/e^x≧0，
故g(x)在其定义域R上单调增，故当x>0时,g(x)>g(0)=0；即当x>0时有e^x-e^(-x)>2x，即有
1<[e^x-e^(-x)]/2x，故(1)式左端成立。
由于h(x)=[e^(2x)-1]/[e^(2x)+1]-x=1-2/[e^(2x)+1)-x是减函数，故当x>0时有：
h(x)=[e^(2x)-1]/[e^(2x)+1]-x=[e^x-e^(-x)]/[e^x+e^(-x)]-x<h(0)=0
故[e^x-e^(-x)]/[e^x+e^(-x)]<x，即有[e^x-e^(-x)]/2x<[e^x+e^(-x)]/2，故(1)式右端成立。
于是可知：在x>0时不等式1<[e^x-e^(-x)]/2x<[e^x+e^(-x)]/2成立。
下面回到原题：不失一般性，设-∞<x₂<x₁<+∞是区间(-∞，+∞)内的任意两点，令x=(x₁-x₂)/2>0；
代入(1)式得1<{e^[(x₁-x₂)/2]-e^[(x₂-x₁)/2]}/(x₁-x₂)<{e^[(x₁-x₂)/2]+e^[(x₂-x₁)/2]}/2
即有e^[(x₁+x₂)/2]<(e^x₁-e^x₂)/(x₁-x₂)<(e^x₁+e^x₂)/2
【此处的代数变换写出来看不清楚，故省略了。只需都除以e^[(x₁+x₂)/2]即还原成上式】
即有f[(x₁+x₂)/2]<[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)<[f(x₁)+f(x₂)]/2，故证。

追问

用中值定理是否可以解决这个不等式？

追答

我试过，中值定理只能证明左端的不等式，证明不了右端的不等式。

我试过，不能。