Question

一道数学题，求解答

已知抛物线C1:y=a(x-1)2+k1(a≠0)交x轴于点（0,0）与点A1(b1,0),抛物线C2：y2=a(x-b1)2+k2交x轴于点(0,0)与点A2(b2,0),抛物线C3：y=a(x-b2)2+k3交x轴于点(0,0)与点A3(b3,0),....按此规律抛物线Cn:y=a(x-bn-1)2+kn交x轴于点(0,0)与点An(bn,0)(其中n为正整数），我们把抛物线C1，C2，C3，...Cn称为系数a的“关于原点位似”的抛物线族。
（1）试求出b1的值。
（2）请用含n的代数式表示线段An-1An的长
（3）探究如下问题：
1。抛物线Cn:y=a(x-bn-1)2+kn的顶点纵坐标kn与a,n有何数量关系？并说明理由
2。若系数为a的“关于原点位似”的抛物线族的各抛物线的顶点坐标记为（T,S),请直接写出S与T所满足的函数关系式

Answer 1

由于C1的对称轴是x=1，所以b1-0=2*1, b1=2

同理
由于C2的对称轴是x=2，所以b2-0=2*2, b2=4
由于C3的对称轴是x=4，所以b3-0=2*4, b3=8
显然b(n)=2*b(n-1)=2^n
线段An-1An的长度=b(n)-b(n-1)=2^n-2^(n-1)=2*2^(n-1)- 2^(n-1)=2^(n-1)

y=a(x-b(n-1))2+k(n)由于都存在共同的解(0,0)

所以 0=a*b(n-1)^2+k(n)
k(n)=-a*b(n-1)^2=-a*[2^(n-1)]^2=-a*2^(2n-2)

T=b(n-1), S=-a*b(n-1)^2=-a*T^2
整理后得 S=-a*T^2

Answer 2

1. b1=2
   

2. 2^(n-1)

3. S=-a*T^2