Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。若PD=2，求三棱锥P-EFD的体积

Answer 1

解：连接AC、BD交于点O，

∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，DB⊂底面ABCD，

∴PD⊥DC，PD⊥DB，
∵底面ABCD是正方形，

∴DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC，

∵DE⊂平面PDC，

∴BC⊥DE，
∵PD=DC，E是PC的中点，

∴DE⊥PC，

∴DE⊥平面PBC，

PD=DC=2，∴BD=BC=2，PC=2√2，DE=PE=√2，

连接BD，∴PB=√(PD²+BD²)=2√3，

∴cos∠EPF=(PB²+PC²-BC²)/2×PB×PC=√6/3，sin∠EPF=√3/3，

∴EF=PE×sin∠EPF=√6/3，PF=PE×cos∠EPF=2√3/3，

∴S△EFP=1/2×PF×EF=√2/3，

∴V三棱锥P-EFD=V三棱锥D-EFP=1/3×S△EFP×DE=2/9．

故答案为：2/9．

//--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
【明教】为您解答，
如若满意,请点击【采纳为满意回答】;如若您有不满意之处,请指出,我一定改正!
希望还您一个正确答复!
祝您学业进步!