Question

已知正数数列an的前n项和为sn，满足sn²=a1³+a2³+...an³

求数列an的通项公式
令bn=1/an*a（n+1），求数列bn前n项和Tn

Answer 1

解：
⑴∵Sn²=a1³+a2³+…+an³，
∴S(n-1)²=a1³+a2³+…+a(n-1)³，
两式相减，得an³=Sn²−S(n−1)²=[Sn-S(n-1)][Sn+S(n-1)]=an[Sn+S(n-1)]，
∵an>0，
∴an²=Sn+S(n−1)(n≥2)，
∴a(n−1)²=S(n−1)+S(n−2)(n≥2)，
两式相减，得an²−a(n−1)²=Sn−S(n−2)=an+a(n-1)，
∴an-a(n-1)=1(n>3)，
∵S1²=a1²=a1³，且a1>0，
∴a1=1，
∵S2²=(a1+a2)²=a1³+a2³，
∴(1+a2)²=1+a2³，
∴a2³−a2²−2a2=0，
∵a2>0，得a2=2，
满足an-a(n-1)=1(n≥2)，
故数列{an}为等差数列，通项公式为an=n；
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⑵bn=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，
∴Tn=1/(1×2)+1/(2×3)+…1/[n×(n+1)]
=1-1/2+1/2-1/3+…+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
【考点】：数列的基本性质；数列的裂项求和．
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