Question

（2013•金山区二模）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点，E、F

分别是AB、AC上的动点，∠EPF=45°．
（1）求证：△BPE∽△CFP．
（2）设BE=x，△PEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当E、F在运动过程中，∠EFP是否可能等于60°？若可能求出x的值，若不可能请说明理由．

Answer 1

证明：△∽△≌△∠⊥

1）

因为：AB=AC=2，∠A=90°

所以：∠B=∠C=45°……………………（1）

连接AP，点P为等腰直角三角形斜边BC上的中点

所以：AP=BP=CP=BC/2，AP⊥BC

∠EAP=∠FAP=45°

根据三角形外角定理：
∠EAP+∠EPA=∠BEP=45°+∠EPA

∠CPF=∠APC-∠APF=90°-(∠EPF-∠EPA)=90°-45°+∠EPA=45°+∠EPA

所以：∠BEP=∠CPF………………（2）

所以：由（1）和（2）知道△BPE∽△CFP

2）

BE=x，AB=AC=2，BC=2√2，AP=BP=CP=√2

根据余弦定理有：
PE^2=BE^2+BP^2-2BE*BPcos45°

PE^2=x^2+2-2√2x*(√2/2)=x^2-2x+2

PE=√(x^2-2x+2)

根据1）的三角形相似有：
BE/CP=PE/FP

x/√2=√(x^2-2x+2)/PF

所以：PF=√(2x^2-4x+4) /x

所以三角形PEF的面积：

S=y=PE*PF*(sin45°)/2

=√(x^2-2x+2)*[√2*√(x^2-2x+2)/x ] *(√2/4)

=(x^2-2x+2)/(2x)

所以：
y=x/2+1/x-1，0<x<2

3）

∠EFP=60°，∠EPF=45°，∠FEP=75°

根据正弦定理：

PE/sin60°=PF/sin75°=2R

√(x^2-2x+2) /sin60°=√2*√(x^2-2x+2) /(xsin75°)

所以：
√2sin60°=xsin75°

x=(√6/2)/(sin45°cos30°+cos45°sin30°)

x=(√6/2) /(√6/4+√2/4)

x=2√3/(√3+1)

x=√3*(√3-1)

x=3-√3属于（0,2）

所以：x=3-√3