Question

高中数学 数列放缩问题

an=3^n-2^n
证明:对一切正整数n，有1/a1+1/a2+…+1/an<3/2

Answer 1

我的思路是这样的：
a1=1，所以也就要证明1/a2+...+1/an<1/2，于是很容易想到尝试一下，能不能搞成a2>4,a3>8,an>2^n，这样1/4+1/8+...肯定小于1/2。事实上，这样成功了。
下证明：当n>1时，an>2^n，即3^n>2^(n+1)，遇到这种情况最简单的处理莫过于数学归纳法。
n=2时，9>8，成立
当n=k时成立，则当n=k+1时，由于3^k>2^(k+1)，显然有3^(k+1)>2^(k+2)，因此对n=k+1成立
所以对一切n>1，有an>2^n
所以原始<1/1+1/4+1/8+...+1/2^n<3/2

追问

能用放缩法吗

追答

我不是先把，1/an的和放缩成了1/2^n的和，再由1/2^n的和与3/2比较 得出的结论么。。。。

Answer 2

先研究通项：
∵an=3^n-2^n=（3-2）·（3^(n-1)+3^(n-2)·2+3^(n-3)·2^2+...+3·2^(n-2)+2^(n-1)）=3^(n-1)+3^(n-2)·2+3^(n-3)·2^2+...+3·2^(n-2)+2^(n-1)＞2^n
∴1/a1+1/a2+…+1/an＜1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n=1+1/2-1/2^n＜3/2
不懂可追问，望采纳O(∩_∩)O~

追问

什么意思，看不懂

追答

就是这用个公式放缩的a^n-b^n=(a-b)·（a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+...+ab^(n-2)+b^(n-1)）

Answer 3

楼主忘记贴图了吧。。
希望对你能有所帮助。

追问

贴图？