Question

设x,y,z属于R，且3^x=4^y=6^z【要求详细过程】

1)求证：1/z - 1/x=1/（2y)；
2）比较3x，4y，6z的大小
题目有错误，现更改为——设x,y,z都为正整数，且3^x=4^y=6^z【要求详细过程】

Answer 1

(1)证明：

3^x = 4^y = 6^z
3^x = 2²^y = (2^z)×(3^z)
∴(3^x)×(2^2y) = (2^z)×(3^z)×(2^z)×(3^z)
(3^x)×(2^2y) = (2^2z)×(3^2z)
∵ 3^n 为奇数， 2^n为偶数
∴ 3^x=3^2z，2^2y=2^2z，
⅞x=2z，2y=2z 

∴1/(2y)=1/(2z)，1/x=1/(2z)
于是1/z - 1/x=1/z-1/(2z)=1/(2z)=1/(2y) 

即1/z - 1/x=1/（2y)

（2）解：

设3^x=4^y=6^z=k,则x=log3,k，y=log4,k，z=log6,k
很显然k>1,从而

x=1/logk,3      y=1/logk,4      z=1/logk,6
所以3x=3/log(k)3，4y=4/log(k)4，6z=6/log(k)6
3x/4y=[3logk,4]/[4logk,3]=logk,4³/logk,3⁴=logk,64/logk,81<1
所以3x<4y
同理有

4y/6z=[4logk,6]/[6logk,4]=logk,1296/logk,4096<1
所以4y<6z
所以3x<4y<6z

追问

“⅞x=2z，2y=2z”这一节我无法理解，求解释

追答

⅞是按错的符号

∴ 3^x=3^2z，2^2y=2^2z，
∴ x=2z，2y=2z
底数相同，则指数也相同
就这么简单

Answer 2

设3^x=4^y=6^z=M
log3(m)=x 1/x=logm(3)
log4(m)=y 1/y=logm(4)
log6(m)=z 1/z=logm(6)

1/z-1/x=logm(6)-logm(3)=logm(2)=1/2*logm(4)=1/2y

1/(3x)=1/3*logm(3)
1/(4y)=1/4*logm(4)
1/(6z)=1/6*logm(6)

又3次根号下3>4次根号下4>6次根号下6

所以3x<4y<6z

Answer 3

取对数求解