Question

在数列{an}中，a1=2,a(n+1)=4an-3n+1. （1）证明{an-n}是等比数列 (2)求数列{an}的前n项和Sn

Answer 1

a(n+1)=4an-3n+1
a(n+1)-(n+1)=4(an-n)
[a(n+1)-(n+1)]/(an-n)=4
所以{an-n}是以a1-1=1为首相q=4为公比的等比数列
an-n=1*4^(n-1)=4^(n-1)
即证{an-n}是等比数列

an=4^(n-1)+n
Sn=a1+a2+...+an
=4^0+4^1+4^2+...+4^(n-1)+(1+2+...+n)
=1*(1+4^n)/(1-4)+n(n+1)/2
=-(1+4^n)/3+n(n+1)/2

Answer 2

(1)∵a(n+1)=4an-3n+1
∴a(n+1)-(n+1)=4an-4n=4(an-n)
又∵a1-1=2-1=1
∴{an-n}是等比数列
(2)由(1)知an=4^(n-1)
∴Sn=[(4^n-1)/3]+[n(n+1)/2]