Question

设f（x）=lg（2/（1-x） +a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是？

Answer 1

解由f（x）=lg（2/（1-x） +a）是奇函数
则f(-x)+f(x)=0
即lg（2/（1-(-x)） +a）+lg（2/（1-x） +a）=0
即lg（2/（1-(-x)） +a）（2/（1-x） +a）=0
即lg（2/（1+x)） +a）（2/（1-x） +a）=0
即（2/（1+x)） +a）（2/（1-x） +a）=1
即2^2/(1-x^2)+2a/（1+x)+2a/（1-x） +a^2=1
即4+2a(1-x)+2a(1+x)+a^2(1-x^2)=1-x^2
即4+4a+a^2-a^2x^2=1-x^2
即（a^2-1)x^2-a^2-4a-3=0
即a^2-1=0且a^2+4a+3=0
解得a=-1
故f(x)=lg（2/（1-x)-1）=lg（2-（1-x）)/(1-x）=lg（1+x)/(1-x)
由（1+x)/(1-x) ＞0
得（1+x)(1-x) ＞0
即(x+1)(x-1)＜0
解得-1＜x＜1
故函数的定义域｛x/-1＜x＜1｝
由f(x)＜0
即lg（1+x)/(1-x) ＜0
即（1+x)/(1-x) ＜1
即1+x＜1-x
即2x＜0
解得x＜0
又由-1＜x＜1
故-1＜x＜0
故f（x）＜0的x的取值范围是(-1,0).

Answer 2

首先，保证函数有意义，所以先写出定义域，这是一个硬性限制条件。

2/（1-x） +a>0。条件一
其次，根据奇函数的性质，
f(-x)+f(x)=0，得到：

lg（2/（1-x） +a）+lg（2/（1+x） +a）=0，化简，得：
lg【(2+a-ax)/(1-x)】*【(2+a+ax)/(1+x)】=0，
等价于：【(2+a-ax)/(1-x)】*【(2+a+ax)/(1+x)】=1 条件二
得到：(2+a-ax)(2+a+ax)=(1-x)(1+x)
两边分别乘开，由于是恒等式，所以对应项系数相等，于是可以得到下面两个等式：
等式一：a*a=1；
等式二：a*a+4a+3=0；
两个等式必须同时成立，得到a=-1；a=-3或1（舍掉）
按理来讲，还必须保证反函数有定义，但其实已经包含在条件一和二之中了，所以可以不必再次拿出来考虑。
把a=-1，代入条件一，可以得到x的取值范围是（-1，1）
写出f（x）的函数表达式，令
f（x）＜0，得到x<0或x>1，然后与定义域取交集，得到x∈（-1，0）

Answer 3

∵f(x)为奇函数
∴f(0)=0 即lg[2/(1-0)+a]=0=lg1
∴2+a=1
解得：a=-1
令f(x)=lg[2/(1-x)-1]<0=lg1
∴0<2/(1-x)-1<1
1<2/(1-x)<2
∴1/2<1/(1-x)<1
解得：-1<x<0
∴x的取值范围是x∈（-1,0）