Question

y''-2y'+y=xe^x-e^x，满足y(1)=1，y'(1)=1,求二次常系数非齐次线性微分

y''-2y'+y=xe^x-e^x，满足y(1)=1，y'(1)=1,求二次常系数非齐次线性微分方程的满足初始条件的特解。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

（1-2)y'+y-(x+1)e^x=0
-y'+y-(x+1)e^x=0
y'-y+(X+1)e^x=0
P(x)=-1 Q(x)=(x+1)e^x
∫P(x)dx=∫(-1)dx=-x
y=e^（-∫P(x)dx)[∫Q(x)e^∫P(x)dx+c]
y=e^x[∫(x+1)e^x*e^(-x)dx+c]
y=e^x[∫(x+1)dx+c]
y=e^x(1/2*x^2+x+c)
∵y(1)=1
∴1=e(1/2*1^2+1+c)
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追问

你看错了，是y''不是y'

追答

特征方程r^2-2r+1=0
r=1
y''-2y'+y=0通解 y=c1e^x+C2xe^x

y''-2y'+y=xe^x特解y=C(x)e^x
y'=C'e^x+Ce^x
y''=C''e^x+2C'e^x+Ce^x
C''+2C'+C-2C'-2C+C=x
C''=x
C'=(1/2)x^2+m(常数)
C=(1//6)x^3+mx (m常数)
因此y''-2y'+y=xe^x通解 y=C1e^x+C2xe^x+(1/6)x^3 *e^x