Question

如图,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1

（1）求抛物线的函数解析式 （2）求直线BC的函数表达式 （3）点E为对称轴上一动点，求点E在何位置时，三角形ACE的周长最小，并求最小周长

Answer 1

（1）y=ax^2 bx c 抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），所以X轴另一个交点A（-1，0） 将A，B，C三点分别代入公式 0=a-b c 0=9a 3b c -3=c a=1,b=-2,c=-3 y=x^2-2x-3 （2） 设P（1，y） |PB|^2=y^2 4>=4 (y=0时取得最小值4) |PC|^2=(y 3)^2 1=y^2 6y 10=(y 3)^2 1>=1 （在y=-3时取得最小值1） |PB|-|PC|=√(y^2 4)-√(y^2 6y 10) 当|PB|=|PC|时能取得最小值0，不能取得最大值，最小时y=-1 （3） 平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，所以MN两点关于x=1对称 设圆的半径为R 所以M(1-R,R),N(1 R,R) 代入曲线方程 R=(1-R)^2-2(1-R)-3 R=(1 √17)/2,R=(1-√17)/2(舍去) 即圆的半径为(1 √17)/2

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