Question

已知函数f（x）＝x²+xsinx+cos 1.若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=

已知函数f（x）＝x²+xsinx+cos 1.若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值. 2.若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围。

Answer 1

（2013•北京）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．

解：（I）f′（x）=2x+xcosx，
∵曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，
∴f′（a）=0，f（a）=b，联立

2a+acosa＝0
a2+asina+cosa＝b

，解得

a＝0
b＝1

，
故a=0，b=1．
（II）∵f′（x）=x（2+cosx）．
于是当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）单调递增．
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，
故当b＞1时，曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点．故b的取值范围是（1，+∞）．

Answer 2

解：(I)f′(x)=2x+xcosx，
∵曲线y=f(x)在点(a，f(a))处与直线y=b相切，

∴f′(a)=0，f(a)=b，联立，解得，
故a=0，b=1．
(II)∵f′(x)=x(2+cosx)．

于是当x＞0时，f′(x)＞0，故f(x)单调递增．
当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

∴当x=0时，f(x)取得最小值f(0)=1，
故当b＞1时，曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点．故b的取值范围是(1，+∞)．