Question

一副扑克牌去掉大小王共52张。从中抽A（52张中共有4张），记录抽到的第一张A是第几次抽到的牌，放回，洗牌

一副扑克牌去掉大小王共52张。从中抽A,无论红桃、黑桃、梅花亦或是方片，只要是A就行，也就是说52张牌中共有4张A。从52张牌中抽A，一直抽，不抽到A不算完。只要记录抽到的第一张A是第几张抽到的牌就行。也就是说这个数字最小是1，因为可能抽到的第一张牌就是A；这个数字可能会是16，因为这52张牌抽到第16张才抽到A；这个数字可能会是最大数字49，因为4张A都恰巧在最后，也就是说A会在第49张、第50张、第51张和第52张，第49张牌就是抽到的第一张A。放回，洗牌，再抽。共抽25次。每次都记录在那一次抽到的第一张A是这52张牌中第几张抽到的牌。平均这25个数字（记录值）。并且求它的理论平均值，就是不用实验的方法而是用数学公式去算，请问怎么算？并比较实验结果和理论结果有什么不同。谢谢！ 请注意，此问题的最终要求并非问直接抽到A的概率，而是问52张牌中抽到的第一张A是在抽牌时抽到的第几张，并求它的理论值。如果认为它跟1／13这个概率有关，并且因此而得到它的数值为13，也请解释为什么。请提供详细的运算过程或运算的公式、方法。另外，请把题目认真读清楚再作答。感谢您的帮助。

Answer 1

理论上来讲，抽25次和抽1次没有区别，因为是在求理论值。只不过抽的次数越多，平均它的
记录，这个数值就越接近理论值。

我做了三组实验，每组实验抽25次，平均每组的25个记录值，得到的3个数值分别为：10.08、
10.16 和 10.2 。

此题正确答案为 10.6

此题有两种解法(针对抽一次）：

第一种解法（麻烦的解法）：

抽到的第一张A的概率：

第一张A的牌数 算法

1 st 4/52
2 nd (48/52)x(4/51)
3 rd (48/52)x(47/51)x(4/50)
4 th (48/52)x(47/51)x(46/50)x(4/49)
. .
. .
. .
k th (48/52)x(47/51)x ... x[(48-k+2)/(52-k+2)]x[4/(52-k+1)]
1<k<49

由于A是抽到的第k张牌，故 k x 概率 % ：

第一张A的牌数 概率 %（4dps) k x 概率 %（4dps）

1 st 7.6923 % 0.0769
2 nd 7.2398 % 0.1448
3 rd 6.8054 % 0.2043
4 th 6.3888 % 0.2556
. . .
. . .
. . .
48 th 0.0015 % 0.0007
49 th 0.0004 % 0.0002
Total = 100 % ≈ 10.6

第二种解法：

根据正态分布原则（normal distribuion) （嗯...，好像是吧...???) ：

假设52张牌中只抽取某一张特定的牌，理论上来说，它出现在最中间的可能性最大。所以是
51/2=25.5 也就是说那一张特定的牌把52张牌中剩下的51张牌平分成相等的两份。

同理，假设要抽取的牌是 2 张，那么就是说两张牌把剩下的50张牌平分成相等的3份。
50/3=16.7 (1dps)

但是，此题是要求抽A，并且A还有4张，所以4张牌把剩下的48张牌平分成相等的5份。
48/5=9.6 也就是说每一部分的数值为9.6。

此题目最终要求的答案是：第一次出现的A，是在这52张牌中的第几张。
所以：
9.6+1=10.6 那个 1 是第一张A。

因此正确答案为 10.6

Answer 2

理论上抽到A的概率为52分之4，抽25次抽出A的次数为52分之4 ×25=13分之25，但实际上不一定抽25次就有13次抽出A。

Answer 3

问题补充前是要求放回 因此为超几何分布［注：列分布列是无穷的］即可能为一也可能几千几万次也取不到（因为放回）但可以确定每一次取取到的概率为1/13这你应懂
令y表示第几次取到
所以概率P(y)=(12/13)^(y-1)*(1/13)
以y为自变量P(y)为应变量列表格第项用公式代

数学期望(即你所求的东西)是y*P(y)后一一相加(等比乘等差数列求和)求和我算了是13-y*(12/13)^y当趋于无穷时13后的项为0
所以理论上平均弟13次取到

Answer 4

这其实是一个求期望的问题，二十五次没有任何意义，归结到底，抽到A的概率是十三分之一，问抽到A的次数的期望。由此，抽到A的次数服从几何分布（见高中数学必修第三册），则期望为1/p（p表示概率）,原题中即十三。

Answer 5

首先应该注意，理论值与抽的次数无关，是抽25次还是1000次都不应该改变。要求是抽到第一张A用的次数，这和抽到A的概率有关，概率是4／52＝1／13，所以理论平均值应该是13，不要想复杂了。
实验与理论的不同：随着实验次数的增加，实验值会越来越趋近一个值并在这个值上下波动，但不一定会等于这个值，这个就是理论值。简而言之，实验接近于理论但永远达不到理论。
希望对你有所帮助！