Question

由曲线y=sinx在（0，π）的图形绕y轴旋转形成的立体体积

Answer 1

由曲线y=sinx在（0，π）的图形绕y轴旋转形成的立体体积是2π²

由y=sinx得：

x1=arcsiny,x1∈(0,π/2),y∈(0,1)

x2=π-arcsiny,x2∈(π/2,π),y∈(0,1)

∴V=∫(0,1)π[(x2)²-(x1)²]dy

=π∫(0,1)[(π-arcsiny)²-(arcsiny)²]dy

=π∫(0,1)[π(π-2arcsiny)dy

=π²[πy|(0,1)-2∫(0,1)arcsinydy]

=π²{π-2[yarcsiny|(0,1)-∫(0,1)ydy/√(1-y²)]}

=π³-2π²[π/2+1/2·∫(0,1)d(1-y²)/√(1-y²)]

=π³-2π²[π/2+1/2·2√(1-y²)|(0,1)]

=π³-2π²[π/2+(-1)]

=2π²

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于 sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；

半径等于斜边并有长度 1，所以有了 sinθ=y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。即sinθ=AB，与y轴正方向一样时正，否则为负。

Answer 2

由y=sinx得：
x1=arcsiny,x1∈(0,π/2),y∈(0,1)
x2=π-arcsiny,x2∈(π/2,π),y∈(0,1)
∴V=∫(0,1)π[(x2)²-(x1)²]dy
=π∫(0,1)[(π-arcsiny)²-(arcsiny)²]dy
=π∫(0,1)[π(π-2arcsiny)dy
=π²[πy|(0,1)-2∫(0,1)arcsinydy]
=π²{π-2[yarcsiny|(0,1)-∫(0,1)ydy/√(1-y²)]}
=π³-2π²[π/2+1/2·∫(0,1)d(1-y²)/√(1-y²)]
=π³-2π²[π/2+1/2·2√(1-y²)|(0,1)]
=π³-2π²[π/2+(-1)]
=2π²

Answer 3

算个定积分，积分区间（0，π），被积函数πsin^2x