Question

怎么样理解“积定和最小，和定积最大呢？”

Answer 1

积定和最小，和定积最大的意思是对于两个变量，和为定值，积有最大值，积为定值，和有最小值，数学公公示表示如下：

由于a²+b²≥2ab

a²+b²+2ab≥4ab 

所以（a+b)²≥4ab

当和（a＋b）一定时 ，ab≤（a+b)²/4 ,所以ab有最大值（a+b)²/4

若a、b均是正实数，则：a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取等号。

扩展资料：

如变量x和变量(10-x)和为定值，(0<x<10),就乘积x（10-x）有最大值当x=5时，最大值为25，最大值就在两个变量相等时取到。

和定积最大其意义是长方形的周长一定，其面积有最大值，当且仅当长方形是正方形时面积最大。而积定和最小则是长方形面积一定周长有最小值，当且仅当长方形是正方形时周长最小。

Answer 2

A+B≥2√AB；
积定即AB值确定，则A+B≥C（C是常数），则A+B有最小值，即C值。也就是积定和最小。
和定即A+B值确定，则2√AB≤C（C是常数），则2√AB有最大值，即C值，因此AB有最大值也就是和定积最大。

Answer 3

当两正数的和为常数时，两正数的积只有在两正数相等时才有最大值，若两正数的差值越大，则这两正数的积越小。

举例说明

设a(1)、a(2)、a(3)、…、a(n)都是正实数，则基本不等式可推广为均值不等式：

a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n≥na(1)a(2)…a(n)

（当且仅当a(1)=a(2)=a(3)=…a(n)时取等号）

对推广形式的证明：

我们采用数学归纳法，对n=2，已经成立；

假设结论对n-1已经成立，则：

(n-1)[a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n]

=[a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n]+[a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n]+…+[a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n]

≥[a(1)^(n-1)a(2)+a(2)^(n-1)a(3)+…+a(n)^(n-1)a(1)]+[a(1)^(n-1)a(3)+a(2)^(n-1)a(4)+…+a(n)^(n-1)a(2)]+…+[a(1)^(n-1)a(n)+a(2)^(n-1)a(1)+…+a(n)^(n-1)a(n-1)](排序原理)

=a(1)[a(2)^(n-1)+a(3)^(n-1)+…+a(n)^(n-1)]+a(2)[a(1)^(n-1)+a(3)^(n-1)+…+a(n)^(n-1)]+…+a(n)[a(1)^(n-1)+a(2)^(n-1)+…+a(n-1)^(n-1)]

≥a(1)*(n-1)a(2)a(3)…a(n)+a(2)*(n-1)a(1)a(3)…a(n)+…+a(n)*a(1)a(2)…a(n-1)(归纳假设)

=n(n-1)a(1)a(2)…a(n)

即a(1)^n+a(2)^n+…+a(n)^n≥na(1)a(2)…a(n)，结论成立。

应用

和定积最大(即a,b的和确定时,ab取得最大值：

)：当a+b=S时，

（当且仅当a=b时取等号）

积定和最小(即a,b的积确定时,a+b取得最小值：2

)：当ab=P时，

（当且仅当a=b时取等号）

Answer 4

设a>0,b>0,则a+b>=2sqrtab, sqrt表示根号，ab<=(a+b)^2/4 ，即当积为定值时，二者的各有最小值2sqrtab。当和为定值时，积有这个最大值(a+b)^2/4

Answer 5

比如：A+B≥2√AB （其中A.B都为正）当A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值；当A·B为定值时，便可以知道A+B的最小值。