已知：如图，AD平行于BC，E是线段CD的中点，AE平分角BAD。求证：BE平分角ABC。
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过E作EF‖AD交AB于F，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠FAE
又∠DAE=∠AEF，
∴∠FAE=∠AEF，
∴AF=EF。
又E是CD的中点，
∴F也是AB的中点，（EF是梯形的中位线）
∴EF=BF，
∴∠BEF=∠FBE，
又∠BEF=∠CBE，
∴∠FBE=∠CBE，
∴BE是∠ABC的平分线。
证毕。
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠FAE
又∠DAE=∠AEF，
∴∠FAE=∠AEF，
∴AF=EF。
又E是CD的中点，
∴F也是AB的中点，（EF是梯形的中位线）
∴EF=BF，
∴∠BEF=∠FBE，
又∠BEF=∠CBE，
∴∠FBE=∠CBE，
∴BE是∠ABC的平分线。
证毕。
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过E点做AD的平行线，交AB于点F,则AD‖EF,∠DAE=∠AEF
又∠DAE=∠EAB,所以∠EAB=∠AEF,
得AF=EF
由于AD‖BC,AD‖EF,得BC‖EF,∠FEB=∠EBC,
又E为CD中点，得F为AB中点，AF=BF
则EF=BF
所以∠ABE=∠FEB
所以∠ABE=∠EBC，
所以BE平分∠ABC
又∠DAE=∠EAB,所以∠EAB=∠AEF,
得AF=EF
由于AD‖BC,AD‖EF,得BC‖EF,∠FEB=∠EBC,
又E为CD中点，得F为AB中点，AF=BF
则EF=BF
所以∠ABE=∠FEB
所以∠ABE=∠EBC，
所以BE平分∠ABC
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取AB中点F，连接EF，所以EF是梯形的中位线，所以EF平行AD和BC
因为EF平行AD,所以角DAE=角FEA，因为角FAE=角DAE，所以角FAE=角FEA
所以AF=EF，所以EF=BF
所以角FBE=角FEB，因为EF平行BC，所以角FEB=角EBC，所以角FBE=角EBC
所以BE平分角ABC
因为EF平行AD,所以角DAE=角FEA，因为角FAE=角DAE，所以角FAE=角FEA
所以AF=EF，所以EF=BF
所以角FBE=角FEB，因为EF平行BC，所以角FEB=角EBC，所以角FBE=角EBC
所以BE平分角ABC
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