Question

设随机变量X服从指数分布，Y=min{X,2} 求Y的分布函数。要详细步骤， 网上很多都是只有答案

有一个问题，X服从指数分布，是不是X一定大于0？？为什么？？

随机变量X的取值范围不是应该-无穷到正无穷吗？？？
有人说这里的
Y=min{X,2}的取值范围是0到2.。
不一定吧。。X的取值范围是-无穷到正无穷的话。。。Y就可以取负数啊

Answer 1

P(Y>y)=P(min(X,2)>y)
=P(X>y,X<2)UP(2>y,X>2)
=P(y<X<2)UP(X>y)
=P(y<X<2)
=e^(-入y)-e^(-2入)

取值范围是正负无穷
但是X<0时密度为0，X>=0时密度为 入e^(-入x)

X的密度函数虽然在负半轴有意义，但是为0
X取负数的概率为0，所以Y最小不可能小於0
所以楼主你的逻辑。。。

追问

又遇到你了。。。
。指数分布的X取值范围就是【0，正无穷)
这个是这题的隐藏条件吗？
是不是概率密度中使 f（x）不得0的x的取值范围，就是随机变量X的取值范围？？

我分不清X和x是代表什么 还有取值范围的区别

追答

f(x)不得0，大X才有机会取到
对於小於0的小x们，大X是够不到的
这个意思

追问

两个问题。。第一个就是
指数分布的密度中，x取不取0这个无所谓。。。但是X这里的取值范围到底有没有
0.就关系到Y=min（2，X） 这里的取值范围到底是【0,2】还是(0,2】这里应该怎么处理？？
第二个问题
这里的X的分布函数可以用字母y表示吗？
就是X的分布函数F（y）=P（X<=y）??

追答

首先X和Y的分布函数不是同一个F,不像1维里一次就对付一个
最好标记为Fx和Fy

Fy(y)=P(Y=0)时
之前我求的P(Y>y)不是P(Yy)了)

这种有上限的还要注意一个
Fy(y)=1 (y>=2) (y>=2时，虽然密度已经停止积分，但是Fy不同于fy,看的是之前密度总共累积起来的概率）

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示