Question

望大家来讨论一个貌似简单的掷硬币概率数学题

“甲乙两人掷硬币 每人各掷一个硬币4次 问他们的正反结果是A很肯能一样 还是 B不太肯能一样” 可能一看到都会去选A 老师也这样说 但是我认为：抛一次的正反概率都为50％ 但正因为如此 甲抛的4次可能为 4正. 4反. 1正3反. 1反3正. 2正2反. 所以有五种可能 且这五种情况发生的概率都为50％ 因为抛一次的正反概率都为50％.所以甲抛4次的全部结果为这五种情况中的一种---概率20％ ，所以乙要想和甲的全部结果一样 概率也只有20％ 最后我想应该选B不太可能
我抄原题：两人玩掷硬币游戏，没人各掷一枚硬币4次 两人的游戏结果：A必然一模一样 B不可能一抹一样 C很可能一模一样 D不太可能一模一样 （我就是简写了而已）

Answer 1

以上论述都过于笼统了，必须仔细计算两人结果一样的概率，然后判定选择哪个答案。

下面来计算一下两人结果一样的概率

首先列分布表

+表示正面 -表示反面

列表见图

说明一下，表中的数据来源于甲乙相互独立，PAB=PAPB

也就是说分别依靠边缘概率相乘而得来。

从结果来看，两人抛掷硬币不一样的概率更大。

Answer 2

对，纠正一下，概率不是20%是更低，不信自己再想一想

Answer 3

甲乙两人掷硬币 每人各掷一个硬币4次,因为出现某种情况的概率都是1/2*1/2*1/2*1/2=1/16，所以四次都是正的概率为1/16，四次都是反的概率也是1/16，所以应选A

Answer 4

“甲抛的4次可能为 4正. 4反. 1正3反. 1反3正. 2正2反. 所以有五种可能 且这五种情况发生的概率都为50％”这句话是不对的。
4正或4反的概率是16分之1，2正2反的概率是8分之3，1正3反或3正1反的概率是4分之1。
两个人结果一样的概率是2*(1/16)*(1/16)+(3/8)*(3/8)+2*(1/4)*(1/4)
而结果不一样的概率是1-2*((1/16)*(1/16)+(3/8)*(3/8)+2*(1/4)*(1/4))
这个题目你描述的够准确吗?从你的描述来看答案应该是不太可能一样。

答案选D，你只要把上面两个概率算出来就知道了。（上面的式子经“骚娃力大”的纠正修改过）
你可能不理解为什么5种情况的概率会不同，我解释一下1正3反的概率，其他的你可以自己推导。
1正3反的出现有四种情况。分别是正反反反、反正反反、反反正反、反反反正，而这四种情况的概率分别都是1/16那么1正3反的概率就是这四种情况之和，即为1/4

Answer 5

设X，Y为甲乙两人出现正面的次数
则X，Y都服从二项分布B(4,1/2)，且相互独立
P(X=0)=c(4,0)*(1/2)^4=1/16 P(X=1)=c(4,1)*(1/2)^4=1/4
P(X=2)=c(4,2)*(1/2)^4=3/8 P(X=3)=c(4,3)*(1/2)^4=1/4
P(X=4)=c(4,4)*(1/2)^4=1/16（Y的分布完全相同）
P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)+P(X=4,Y=4)
=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)+P(X=4)P(Y=4)
=1/16*1/16+1/4*1/4+3/8*3/8+1/4*1/4+1/16*1/16=35/128
P(X≠Y)=1-P(X=Y)=93/128

Answer 6

“甲抛的4次可能为 4正. 4反. 1正3反. 1反3正. 2正2反. 所以有五种可能 且这五种情况发生的概率都为50％”这句话是不对的。
4正或4反的概率是16分之1，2正2反的概率是8分之3，1正3反或3正1反的概率是4分之1。
两个人结果一样的概率是(1/16)*(1/16)+(3/8)*(3/8)+(1/4)*(1/4)
而结果不一样的概率是1-((1/16)*(1/16)+(3/8)*(3/8)+(1/4)*(1/4))
这个题目你描述的够准确吗?从你的描述来看答案应该是不太可能一样

这个思路对，我纠正一下

两个人结果一样的概率是(1/16)*(1/16)+(3/8)*(3/8)+(1/4)*(1/4)
是错误的

正解应为2*(1/16)*(1/16)+(3/8)*(3/8)+2*(1/4)*(1/4)
因为1正3反或3正1反的概率是4分之1，4正或4反的概率是16分之1，都是两种情况

不过最后答案不变还是选择D