Question

定义在（0，正无穷大）上的函数f(x)对于任意mn属于（0，正无穷大）都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，当x＞1时，

f(x)＜0.
1、求证：f(x)在（0，正无穷大）为减函数
2、当f(2)=-1/2时，解不等式f(3x+1)＞-1

Answer 1

1.
f(mn)=f(m)+f(n)
当m=1时，f(n)=f(1)+f(n),f(1)=0
当m=1/n时，f(1)=f(1/n)+f(n)=0
当n＞1时，f(n)＜0,f(1/n)＞0,1/n＜1
所以0＜x＜1时，f(x)＞0;
当m=n时，f(n^2)=2f(n),所以f(x^2)=2f(x)
当0＜x＜1时,0＜x^2＜x＜1,f(x^2)-f(x)=f(x)＞0,所以f(x)在(0,1)内为减函数且f(x)＞0；
当x＞1时,x^2＞x＞1,f(x^2)-f(x)=f(x)＜0,所以f(x)在(1,∞)内为减函数且f(x)＜0；
所以f(x)在(0,∞)内为减函数。

2.
f(2)=-1/2
2f(2)=-1
因f(x^2)=2f(x)
所以f(4)=2f(2)=-1
f(3x+1)＞-1=f(4)
f(3x+1)＞f(4)
又因f(x)为减函数，
所以0＜3x+1＜4
-1/3＜x＜1