Question

设{an}是等差数列,bn=(1/2)^an,已知b1+b2+b3=21/8,b1b2b3=1/8,求an

设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d．
∴bn=(1 /2 )a1+(n-1)db1b3=(1 2 )a1•(1 2 )a1+2d=(1 2 )2(a1+d)=b22．
由b1b2b3=1 8 ，得b23=1 8 ，解得b2=1 2 ．代入已知条件b1b2b3=1 8

b1+b2+b3=21 8 .
整理得b1b3=1 4

b1+b3=17 8 .
解这个方程组得b1=2，b3=1 8 或b1=1 8 ，b3=2
∴a1=-1，d=2或a1=3，d=-2．
所以，当a1=-1，d=2时
an=a1+（n-1）d=2n-3．
当a1=3，d=-2时
an=a1+（n-1）d=5-2n．
我知道过程，但是不明白是怎么想的，求解释

Answer 1

∵bn=(1/2)^an ∴b(n+1)/bn=(1/2)^[a(n+1)-an]
∵{an}是等差数列 ∴a(n+1)-an=d=常数 ∴{bn}为等比数列
∴b1+b2+b3=b1（1+q+q^2)=21/8 ……（1） b1b2b3=(b1q)^3=1/8 ……（2）
由（1）、（2）解得：b1=2,d=1/4或b1=1/8,d=4
∴bn=2*(1/4)^(n-1) 或 bn=1/8*4^(n-1)
∵bn=(1/2)^an ∴an=-log2bn
∴an=-log2[2*(1/4)^(n-1)]=-1+2(n-1)=2n-3
或an=-log2[1/8*4^(n-1)]=3-2(n-1)=-2n+5