Question

求解5道大一离散问题（请写出较为完整的步骤）

1.设A为4阶方阵，B为3阶方阵，且行列式|A|=10，|B|=-1，则行列式||A|B|=___,

2.若3维向量a1、a2、a3有行列式|(a1+a2，-a2，a3-2a1)|=π，则行列式|11a2+a3，a1-a2，a3|=___
3.若3阶阵A有特征值2，-1,1，矩阵B=

的特征值为____

4.已知A=

是正交矩阵，则a²=___，g²-2cd+b²=___

5.设A=

，R（A）=2，则=0的通解是___
第5题是求
的通解

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Answer 1

1.
|A|B 是 B 的每个元素乘以 |A|，又因为B是3阶方阵，所以 ||A|B| = |A|^3 |B| = -1000

BTW：问题1下面那个图是做什么的？没琢磨明白。

2.
|a1+a2，-a2，a3-2a1|
= |a1，-a2，a3-2a1| （第2列加到第1列）
= |a1，-a2，a3| （第1列乘以2，加到第3列）
= π
所以：
|11a2+a3，a1-a2，a3|
= |11a2，a1-a2，a3| （第3列乘以-1，加到第1列）
= |11a1，a1-a2，a3| （第2列乘以11，加到第1列）
= 11 |a1，a1-a2，a3| （第1列的系数11提出去）
= 11 |a1，-a2，a3| （第1列乘以-1，加到第2列）
= 11π

3.
首先，A可逆，|A| 为特征值的乘积，也就是：|A| = 2*(-1)*1 = -2

设 x 是矩阵 A 对应于特征值 λ 的特征向量，则：Ax = λx
x = A^(-1) Ax = A^(-1) (λx) = λ A^(-1) x，也就是：A^(-1) x = (1/λ) x
x 是 A^(-1) 对应于 1/λ 的特征向量

A*A = |A| E （E为单位矩阵）
所以：|A| x = A* Ax = A* (λx) = λ A* x，也就是：A* x = (|A| / λ) x
x 是 A* 对应于 |A| / λ = -2 / λ 的特征向量

A^2 x = A (Ax) = A (λx) = λ (Ax) = λ^2 x
x 是 A^2 对应于 λ^2 的特征向量

综上，
(A^(-1) - A* + A^2 - E) x = (1/λ - (-2)/λ + λ^2 - 1) x
x 是 A^(-1) - A* + A^2 - E 对应于特征值 1/λ - (-2)/λ + λ^2 - 1 的特征向量
所以 A^(-1) - A* + A^2 - E 的3个特征值为 3/λ + λ^2 - 1 代入 λ = 2、-1、1 后的3个值：
9/2、-3、3

4.
A 是正交阵，所以 A 的行列向量的长度都是1
第1行：(1/3)^2 + a^2 = 1，得到：a^2 = 8/9
第1列：(1/3)^2 + b^2 = 1，得到：b^2 = 8/9
第3行：g^2 = 1
第2列：c^2 + g^2 = 1，得到：c = 0
所以：g^2 - 2cd + b^2 = 1 - 0 + 8/9 = 17/9

5.
A 的第1行 a=[1,2,-1] 与第2行 b=[0,1,2] 线性无关，又因为 R(A)=2，所以：
A 的第3行 c=[u,v,w] 可由 a、b 线性表示：c = λa + μb
所以，若3维向量 x 满足 ax = 0，和 bx=0，则第3行：cx = λax + μbx = 0
所以，x只需满足前2行。
记 x = [x1,x2,x3]，设 x3 = k
由 bx = 0，得到：x2 = -2x3 = -2k
再由 ax = 0，得到：x1 = x3 - 2x2 = k + 4k = 5k
所以，x的通解是：x = k [5,-2,1]，其中k为任意实数。

6.
A* 的秩：
若 A 的秩是n，则 A* 的秩也是 n，此时 A*x = 0 只有零解。
若 A 的秩是n-1，则 A* 的秩是1，此时由于 A*A = 0，所以 A*x = 0 的解就是 A 中线性无关的 n-1 个向量张成的空间。
若 A 的秩<= n-2，则 A* 的秩是0，也就是 A* 全零，所以 A*x = 0 的解就是整个 n 维空间。