Question

三阶对称矩阵，已知三个特征值（c1=-1,c2=c3=1）和一个特征向量(0,1,1)，要求原矩阵

三阶对称矩阵，已知三个特征值（c1=-1,c2=c3=1）和一个特征向量(0,1,1)，要求原矩阵。请问详细步骤有哪些？谢谢了！！

Answer 1

啊，刚看了一下你的资料，25个提问，采纳0个，又是手机知道提问的。手机提问特别容易忘掉采纳，如果你对回答满意，千万要先点采纳，再关闭窗口啊。

再说这道题。
这是个镜像变换，也叫Householder变换。

特征值1所对应的特征向量，就是那个镜像平面上的向量，也就是当作镜子的平面上的向量。很容易想象，它们变换后不变，也就是特征值为1。
特征值-1所对应的特征向量，是与那个镜像平面垂直的向量。也很容易想象，它们变换后变成相反的向量，也就是特征值-1。

镜像变换矩阵本身就是实对阵的，所以你不用再管实对称这个条件。

你可以用镜像变换的标准求法：

特征值为-1所对应的特征向量：x1=[0,1,1]^T，有了这个就足够了。
先把x1单位化：v=x1/|x1|，其中|x1|是x1的模（长度）。
对任意向量x，A把x镜像，镜像平面是与v垂直的平面，所以：Ax=x-2(v,x)v，其中(v,x)代表内积。
所以：Ax=x-2v(v^T x)=x-2(v v^T)x=(I-2v v^T)x，其中I是3阶单位阵。
所以：A=I-2v v^T
算出来A就是那个答案。

方法2，你也可以用提示中的方法，也就是求特征值1所对应的特征向量。
已知x1是与镜像平面垂直的方向，现在要找镜像平面上的2个线性无关的向量，那么只要与x1垂直，且线性无关就行了。
比如：你可以写特征值1对应的2个向量是：x2=[1,0,0]^T，x3=[0,1,-1]^T
最后再通过A=PDP'，就能求得A，其中D是特征值组成的对角阵，P是特征向量摆成的那个矩阵，P'是它的逆矩阵。