Question

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外

数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；

Answer 1

解：（1）正确．（1分）
证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．（2分）
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），（5分）
∴AE=EF．（6分）

（2）正确．（7分）
证明：在BA的延长线上取一点N．
使AN=CE，连接NE．（8分）
∴BN=BE，
∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE=45°，
∴∠N=∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA）（10分）
∴AE=EF．（11分）

Answer 2

解：（1）正确． ……1分

证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF． ……3分

∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF． ……5分

∴△AME≌△BCF（ASA）． ……6分

∴AE＝EF．

（2）正确． ……7分

证明：在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．

∴BN＝BE． ……8分

∴∠N＝∠FCE＝45°. ……9分

四边形ABCD是正方形，

∴AD‖BE．

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠NAE＝∠CEF． ……10分

∴△ANE≌△ECF（ASA）． ……11分

∴AE＝EF． ……12分

Answer 3

（1）正确． ……1分
证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．
∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．
∴∠AME＝∠ECF． ……3分
∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF． ……5分
∴△AME≌△BCF（ASA）． ……6分
∴AE＝EF．
（2）正确． ……7分
证明：在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．
∴BN＝BE． ……8分
∴∠N＝∠FCE＝45°. ……9分
四边形ABCD是正方形，
∴AD‖BE．
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠NAE＝∠CEF． ……10分
∴△ANE≌△ECF（ASA）． ……11分
∴AE＝EF． ……12分