Question

求证:2<(1+1/n)^n<3

求证:2<(1+1/n)^n<3 n属于N*，n≥2

Answer 1

用C(m,n)(其中m<=n)表示n个里面取m个的组合数. 用二项式定理: (1+1/n)^n =1+C(1,n)/n+C(2,n)/n^2+...+C(k,n)/n^k+...+1/n^n =1+1+C(2,n)/n^2+...+C(k,n)/n^k+...+1/n^n >2 不等式左边得证. 考虑展开式通项: C(k,n)/n^k =n!/[k!(n-k)!n^k] =(1/k!){n!/[(n-k)!n^k]} 而 n!/[(n-k)!n^k] =n(n-1)...(n-k+1)/n^k =(n-1)...(n-k+1)/n^(k-1) <1(由于分子是由n-1个小于n的数相乘，分母是n-1个n相乘） 因此 C(k,n)/n^k<1/k! 所以 1+C(1,n)/n+C(2,n)/n^2+...+C(k,n)/n^k+...+1/n^n <1+1+1/2!+1/3!+...+1/k!+...+1/n! =(1+1)+(1/2!)[1+1/3+1/(3*4)+1/(3*4*5)+...+1/(3*4*...*n)] <2+(1/2)(1+1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^(n-2)] =2+(1/2)[1-1/3^(n-1)]/(1-1/3) <2+(1/2)/(1-1/3) =2+3/4 =11/4 <3 不等式右边也得证. 所以2<=(1+1/n)^n<3

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