Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,（a,b,c属于R),满足对任意实数x都有f(x)>=x

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,（a,b,c属于R),满足对任意实数x都有f(x)>=x,且当x属于(1,3)时，有f(x)<=1/8(x+2)^2成立，若f(-2)=0,求f(x)表达式

Answer 1

f(2)≥2
2∈(1，3)有f(2)≤2
所以f(2)=2
f(2)=2得：4a+2b+c=2
f(-2)=0得：4a-2b+c=0
所以b=1/2
(-2,0)是f(x)的顶点坐标
-b/2a=-2
所以a=1/8
c=1/2
f(x)=1/8*x^2+1/2*x+1/2

若满意请采纳！！谢谢

追问

(-2,0)为什么是顶点，怎么知道

题目没有说

追答

2、4a+2b+c=2
4a-2b+c=0
所以b=1/2,
即4a+c=1
4a=1-c
又f(x)≥x，即
ax^2+(b-1)x+c≥0 恒成立，即
a>0
（b-1)^2-4ac≤0,即
16ac≥1，即
4（1-c）c≥1，即
（2c-1)^2≤0
c=1/2,a=(1-c)/4=1/8
所以f（x）=x^2/8+x/2+1/2

追问

为什么变成(b-1）x,为什么b^2-4ac<=0

追答

亲。因为f(x)≥x
ax^2+bx+c≥x 恒成立，移向
ax^2+(b-1)x+c≥0 恒成立

a>0，函数开口向上
既然对任意实数f(x)≥x恒成立，那么函数图像应该是在x轴的上方或者与x轴的交点最多只有一个，可是本题中已经有一个当x=-2时，f(-2)=0,故也就解释了前面你所说的为什么（-2，0）为函数的顶点了，也就说明了判别式必须小于等于0
（b-1)^2-4ac《0

明白了么？亲

追问

明白了，不好意思，因为我太笨了

追答

呵呵，其实是我没有讲清楚，抱歉

Answer 2

因为恒有f(x)>x，所以a>=0,抛物线向上。又因为当x属于(1,3)时，有f(x)<=1/8(x+2)^2成立，所以a不等于0，且f（1）=1/8(1+2)^2,f(3)=1/8(3+2)^2,f(-2)=0.联立方程组得出a,b,c。。。

多少年没做过这种题还蛮怀念的。
仅供参考哈。

追问

是(1,3),不是[1,3]