已知定义在(-∞,+∞)上函数y=f(x)是奇函数。求证:f(0)=0
已知定义在(-∞,+∞)上函数y=f(x)是奇函数。求证:f(0)=0.若f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内函数值的正负,并证...
已知定义在(-∞,+∞)上函数y=f(x)是奇函数。求证:f(0)=0.
若f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内函数值的正负,并证明你的结论 展开
若f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内函数值的正负,并证明你的结论 展开
4个回答
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1)y=f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),即2f(0)=0,即:f(0)=0.
2)f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,则(-∞,0)上f(x)>f(0)=0
(0,+∞)上,f(x)<f(0)=0
2)f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,则(-∞,0)上f(x)>f(0)=0
(0,+∞)上,f(x)<f(0)=0
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函数是奇函数
则f(-x)=-f(x)
则,f(-0)=-f(0)
则f(0)=0
(2)
由f(0)=0
f(x)在(-∞,+∞)上是减函数
则f(x)在(-∞,0)上递减
所以f (x)>f(0)=0
且f(x)在(0,+∞)递减:
则f(x)<f(0)=0
即f(x)在(-∞,0)内的函数值为正;
f(x)在(0,+∞ )内的函数值为负
则f(-x)=-f(x)
则,f(-0)=-f(0)
则f(0)=0
(2)
由f(0)=0
f(x)在(-∞,+∞)上是减函数
则f(x)在(-∞,0)上递减
所以f (x)>f(0)=0
且f(x)在(0,+∞)递减:
则f(x)<f(0)=0
即f(x)在(-∞,0)内的函数值为正;
f(x)在(0,+∞ )内的函数值为负
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设 x1 , x2 且 x1 > x2
因为f(x)为减函数
则f(x1)<f(x2)
再设x3 , x4 且x3>0 x4<0
则f(x3)<f(0)=0
f(x4)>f(0)=0
所以
f(x)在(-∞,0)大于0
在(0,+∞)小于0
因为f(x)为减函数
则f(x1)<f(x2)
再设x3 , x4 且x3>0 x4<0
则f(x3)<f(0)=0
f(x4)>f(0)=0
所以
f(x)在(-∞,0)大于0
在(0,+∞)小于0
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