已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C点的切线与AB的延长线交于点D,CE∥AB交⊙O于点E,连接AC
已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C点的切线与AB的延长线交于点D,CE∥AB交⊙O于点E,连接AC、BC、AE.(1)求证:①∠DCB=∠CAB;②CD?...
已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C点的切线与AB的延长线交于点D,CE∥AB交⊙O于点E,连接AC、BC、AE.(1)求证:①∠DCB=∠CAB;②CD?CE=CB?CA;(2)作CG⊥AB于点G.若tan∠CAB=1k(k>1),求ECGB的值(用含k的式子表示).
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(1)证明:①如图1
解法一:作直径CF,连接BF.
∴∠CBF=90°,
则∠CAB=∠F=90°-∠1.
∵CD切⊙O于C,
∴OC⊥CD,
则∠BCD=90°-∠1.
∴∠BCD=∠CAB.
解法二:如图2
连接OC.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
则∠2=90°-∠OCB.
∵CD切⊙O于C,
∴OC⊥CD.
则∠BCD=90°-∠OCB.
∴∠BCD=∠2.
∵OA=OC,
∴∠2=∠CAB.
∴∠BCD=∠CAB.
②∵EC∥AB,∠BCD=∠3,
∴∠4=∠3=∠BCD.
∵∠CBD+∠ABC=180°,
∵∠AEC+∠ABC=180°,
∴∠CBD=∠AEC.
∴△ACE∽△DCB.
∴
=
.
∴CD?CE=CB?CA.
(2)解:如图3,连接EB,交OC于点H,
∵CG⊥AB于点G,∠ACB=90°.
∴∠3=∠BCG.
∴AE=BC,
∵∠3=∠4.
∴∠3=∠EBG.
∴∠BCG=∠EBG.
∵tan∠CAB=
(k>1),
∴在Rt△HGB中,tan∠HBG=
=
.
在Rt△BCG中,tan∠BCG=
=
.
设HG=a,则BG=ka,CG=k2a.CH=CG-HG=(k2-1)a.
∵EC∥AB,
∴△ECH∽△BGH.
∴
=
=
=k2?1.
解法二:如图4,作直径FC,连接FB、EF,则∠CEF=90°.
∵CG⊥AB于点G,
在Rt△ACG中,tan∠CAB=
=
设CG=a,则AG=ka,BG=
a,CF=AB=AG+BF=(k+
)a.
∵EC∥AB,∠CEF=90°,
∴直径AB⊥EF.
∴EF=2CG=2a.
EC=
=
)=(k?
)a.
∴
=
解法一:作直径CF,连接BF.
∴∠CBF=90°,
则∠CAB=∠F=90°-∠1.
∵CD切⊙O于C,
∴OC⊥CD,
则∠BCD=90°-∠1.
∴∠BCD=∠CAB.
解法二:如图2
连接OC.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
则∠2=90°-∠OCB.
∵CD切⊙O于C,
∴OC⊥CD.
则∠BCD=90°-∠OCB.
∴∠BCD=∠2.
∵OA=OC,
∴∠2=∠CAB.
∴∠BCD=∠CAB.
②∵EC∥AB,∠BCD=∠3,
∴∠4=∠3=∠BCD.
∵∠CBD+∠ABC=180°,
∵∠AEC+∠ABC=180°,
∴∠CBD=∠AEC.
∴△ACE∽△DCB.
∴
CA |
CE |
CD |
CB |
∴CD?CE=CB?CA.
(2)解:如图3,连接EB,交OC于点H,
∵CG⊥AB于点G,∠ACB=90°.
∴∠3=∠BCG.
∴AE=BC,
∵∠3=∠4.
∴∠3=∠EBG.
∴∠BCG=∠EBG.
∵tan∠CAB=
1 |
k |
∴在Rt△HGB中,tan∠HBG=
GH |
GB |
1 |
k |
在Rt△BCG中,tan∠BCG=
BG |
CG |
1 |
k |
设HG=a,则BG=ka,CG=k2a.CH=CG-HG=(k2-1)a.
∵EC∥AB,
∴△ECH∽△BGH.
∴
EC |
GB |
CH |
HG |
(k2?1)a |
a |
解法二:如图4,作直径FC,连接FB、EF,则∠CEF=90°.
∵CG⊥AB于点G,
在Rt△ACG中,tan∠CAB=
CG |
AG |
1 |
k |
设CG=a,则AG=ka,BG=
1 |
k |
1 |
k |
∵EC∥AB,∠CEF=90°,
∴直径AB⊥EF.
∴EF=2CG=2a.
EC=
CF2?EF2 |
(k+
|
1 |
k |
∴
EC |
BG |