Question

在平面直角坐标系中，以点A（-3，0）为圆心，半径为5的圆与x轴相交于点B，C（点B在点C的左边），与y轴相

在平面直角坐标系中，以点A（-3，0）为圆心，半径为5的圆与x轴相交于点B，C（点B在点C的左边），与y轴相交于点D，M（点D在点M的下方）．（1）求以直线x=-3为对称轴，且经过点C，D的抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求PC+PD的取值范围；（3）若E为这个抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设以直线x=-3为对称轴的抛物线的解析式为y=a（x+3）²+k，
由已知得点C、D的坐标分别为C（2，0）、D（0，-4），分别代入解析式中，
得

25a+k＝0 9a+k＝?4

，
解得

a＝ 1 4 k＝? 25 4

，
∴y=

1

4

（x+3）²-

25

4

为所求；

（2）（图1）∴点C（2，0）关于直线x=-3的对称点为B（-8，0），
∴使PC+PD值最小的P点是BD与直线x=-3的交点．
∴PC+PD的最小值即线段BD的长．
在Rt△BOD中，由勾股定理得BD=4

5

，
∴PC+PD的最小值是4

5

∵点P是对称轴上的动点，
∴PC+PD无最大值．
∴PC+PD的取值范围是PC+PD≥4

5

．

（3）存在．

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